Question

11．直线y=x-$\frac{1}{2}$被椭圆x²+4y²=4截得的弦长为$\frac{2\sqrt{38}}{5}$．

Answer 1

分析 通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及两点间距离公式计算即得结论．

解答 解：依题意，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
消去y整理得：5x²-4x-3=0，
设两交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{4}{5}$，x₁x₂=-$\frac{3}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}•$$\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}-4•（-\frac{3}{5}）}$
=$\frac{2\sqrt{38}}{5}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{38}}{5}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．