Question

2．已知x₁、x₂、…、x₂₀₁₅是正数，且x₁x₂…x₂₀₁₅=1，则（1+x₁）（1+x₂）…（1+x₂₀₁₅）的最小值是2²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 根据条件，可以利用基本不等式得到：$1+{x}_{1}≥2\sqrt{{x}_{1}}$，$1+{x}_{2}≥2\sqrt{{x}_{2}}$，…，$1+{x}_{2015}≥2\sqrt{{x}_{2015}}$，这些不等式的两边都是正数，从而相乘后不等号方向不变，再根据x₁x₂…x₂₀₁₅=1，上面的不等式相乘后便可得到$（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）…（1+{x}_{2015}）≥{2}^{2015}$，并且可以看出等号是能够取到的，这便得出了要求的最小值．

解答 解：x₁，x₂，…，x₂₀₁₅是正数；
∴$1+{x}_{1}≥2\sqrt{{x}_{1}}，{x}_{1}=1$时取“=”；
$1+{x}_{2}≥2\sqrt{{x}_{2}}，{x}_{2}=1$时取“=”；
…
1$+{x}_{2015}≥2\sqrt{{x}_{2015}}$，x₂₀₁₅=1时“=”；
又x₁x₂…x₂₀₁₅=1；
∴（1+x₁）（1+x₂）…（1+x₂₀₁₅）$≥{2}^{2015}•\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}…{x}_{2015}}={2}^{2015}$，当x₁=x₂=…=x₂₀₁₅=1时取“=”；
∴（1+x₁）（1+x₂）…（1+x₂₀₁₅）的最小值为2²⁰¹⁵．
故答案为2²⁰¹⁵．

点评 考查基本不等式在求最小值中的运用，注意应用基本不等式的条件，并判断等号是否取到，不等式的性质：同向正的不等式可以相乘，不等号方向不变．