Question

4．在边长为a的正方形ABCD中截去一个三角形AEF，点E在AD上．点F在AB上，其中AE=$\frac{a}{6}$，AF=$\frac{a}{3}$，在余下的五边形EFBCD中，要截一个有最大面积的矩形MNGC，其中点M在CD上，点N在EF上，点G在BC上，应该怎样截法？此时最大面积是多少？

Answer 1

分析 由已知得所截矩形样式只有一种，其各边分别与正方开形平行，设矩形一边MN为x（$\frac{5a}{6}≤x≤a$），得到矩形MNGC的面积S=MN×NG=x（$\frac{8a}{3}$-2x），由此能求出当N，E两点重合时，面积最大，并能求出最大面积．

解答 解：由已知得所截矩形样式只有一种，其各边分别与正方开形平行，
设矩形一边MN为x（$\frac{5a}{6}≤x≤a$），
与NG边的关系为：2（x-$\frac{5a}{6}$）=（a-NG），
∴NG=a-2x+$\frac{5a}{3}$=$\frac{8a}{3}$-2x，
矩形MNGC的面积S=MN×NG=x（$\frac{8a}{3}$-2x）=$\frac{8a}{3}$x-2x²=-2（x-$\frac{2a}{3}$）²+$\frac{8{a}^{2}}{9}$，
∴当x=$\frac{2a}{3}$时，面积有极值，但此取值不在限制范围内，
离此最近的点是x=$\frac{5a}{6}$，即N点与E点重合．
∴当N，E两点重合时，面积最大，最大面积为S_max=-2（$\frac{5a}{6}$-$\frac{2a}{3}$）²+$\frac{8{a}^{2}}{9}$=$\frac{17{a}^{2}}{18}$．

点评 本题考查矩形最大面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．