Question

2．已知正方体OABC-O₁A₁B₁C₁的棱长为2，对角线O₁B上有一点P，棱B₁C₁上有一点Q．
（1）当Q为B₁C₁的中点，点P在对角线O₁B上运动时，试求|PQ|的最小值．
（2）当Q在B₁C₁上运动，点P在对角线O₁B上运动时，试求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，Q（1，2，2），设P（x，x，2-x），由此能求出|PQ|的最小值．
（2）设P（x₁，x₁，2-x₁），Q（x₂，2，2），由此能求出|PQ|的最小值．

解答 解：（1）以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵Q为B₁C₁的中点，∴Q（1，2，2），
P在xOy坐标平面上的射影落在线段OB上，在yOz坐标平面上的射影落在线段O₁C上，
∴P的坐标（x，y，z）满足$\left\{\begin{array}{l}{x=y}\\{y+z=2}\end{array}\right.$，∴P（x，x，2-x），
∴|PQ|=$\sqrt{（x-1）^{2}+（x-2）^{2}+（-x）^{2}}$
=$\sqrt{3{x}^{2}-6x+5}$
=$\sqrt{3（x-1）^{2}+2}$，
当且仅当x=1，即P（1，1，1）时，|PQ|有最小值$\sqrt{2}$．
（2）由（1）和题意，设P（x₁，x₁，2-x₁），Q（x₂，2，2），
则|PQ|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{x}_{1}-2）^{2}+（-{x}_{1}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+2（{x}_{1}-1）^{2}+2}$，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}={x}_{2}}\\{{x}_{2}=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{x}_{2}=1}\end{array}\right.$时，|PQ|有最小值，|PQ|的最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线段最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．