Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=

7

，PA=

3

，∠ABC=120°，G为线段PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BGD；
（2）求直线DG与平面PAC所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）设点O为AC、BD的交点，连结OG，证明OG∥PA，即可证明PA∥平面BGD；
（2）确定DG与面PAC所成的角是∠DGO，即可求直线DG与平面PAC所成的角的正切值．

解答：（1）证明：设点O为AC、BD的交点，由AB=BC，AD=CD，得BD是线段AC的中垂线，所以O为AC的中点，
连结OG
因为G为PC的中点，所以OG∥PA，
又因为PA?平面BGD，OG?平面BGD，
所以PA∥面BGD-------------（6分）
（2）解：因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，
又由（1）知BD⊥AC，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，
所以DG与面PAC所成的角是∠DGO．
由（1）知：OG=

1

2

PA=

3

2

，在△ABC中，AC=

AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC

=2

3

，
所以OC=

1

2

AC=

3

，
在直角△OCD中，OD=

CD2-OC2

=2，
在直角△OGD中，tan∠DGO=

OD

OG

=

4

3

3

，
所以直线DG与面APC所成的角的正切值是

4

3

3

．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，正确运用线面平行的判定定理是关键．