Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（x+

3

2

），且f（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2，f（1）+f（2）+…+f（2012）=（　　）

A．-1

B．-2

C．0

D．1

Answer 1

分析：根据f（x）=-f（x+

3

2

），可求得函数的周期为T=3，可以利用周期将所求表达式按3个一组，每一组的和都等于f（-2）+f（-1）+f（0），从而求得答案．

解答：解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（x+

3

2

），
∴f（x+

3

2

+

3

2

）=-f（x+

3

2

）=f（x），即f（x+3）=f（x），
∴函数f（x）是周期函数，并且周期为T=3，
又f（-2）+f（-1）+f（0）=f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）=…=0
∵2012=670×3+2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=f（1）+f（2）+0×670=f（1）+f（2）=f（-2）+f（-1）=-2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=-2．
故选B．

点评：本题考查函数的周期性的应用，要求能深入挖掘奇函数这一条件，会推导抽象函数的周期．属于基础题．