Question

已知函数f(x)=

1 2 x+1(-2≤x≤0) 2|x-2(0＜x≤2)

，函数g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，对于任意x₁∈[-2，2]，总存在x₀∈[-2，2]，
使得g（x₀）=f（x₁）成立．
（1）求f（x）的值域．
（2）求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对于分段函数的值域问题要分段求解，然后再综合即可得出f（x）的值域；
（2）根据对于任意x₁∈[-2，2]，总存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，得到函数f（x）在[-2，2]，上值域是g（x）在[-2，2]，上值域的子集，下面利用求函数值域的方法求函数f（x）、g（x）在[-2，2]，上值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）当 x∈[-2，0]时，f(x)=

1

2

x+1在[-2，0]上是增函数，此时f(x)∈[0，1]
当 x∈（0，2]时，f（x）=2^|x-2|=2^2-x在（0，，2]上是减函数，此时f（x）∈[1，4）
∴f（x）的值域为：[0，4]；
（2）①若a=0，g（x）=-1，对于任意 x₁∈[-2，2]，f（x₁）∈[0，4]，不存在x₀∈[-2，2]，使g（x₀）=f（x₁）
②当a＞0时，g（x）=ax-1在[-2，2]是增函数，g（x）∈[-2a-1，2a-1]
任给 x₁∈[-2，2]，f（x₁）∈[0，4]
若存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立
则 [0，4]⊆[-2a-1，2a-1]∴

-2a-1≤0 2a-1≥4

，∴a≥

5

2

③a＜0，g（x）=ax-1在[-2，2]是减函数，g（x）∈[2a-1，-2a-1]
∴

2a-1≤0 -2a-1≥4

，∴a≤-

5

2

综上，实数 a∈(-∞，-

5

2

]∪[

5

2

，+∞)．

点评：此题是中档题．考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能．