Question

【题目】已知函数.

（1）a=1时,求函数f（x）的极值；

（2）若,求f（x）的最小值g（a）的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）f（x）极小值e﹣1,无极大值；（2）[ln2﹣1,e﹣1].

【解析】

(1)代入求导可得,再求导分析单调性与最值可知,进而求得的极值点与单调区间以及极值.

(2)求导后构造导函数得出,再根据(1)中的结论可知恒成立,进而可得在定义域上单调递增.再根据零点存在定理可知 在上有唯一解,且,进而求得最小值,再根据隐零点问题消去参数,再构造函数关于极值点的函数分析即可.

(1)当a=1时,,则,

令h（x）=ex﹣x,当x∈（0,+∞）时,h′（x）=ex﹣1＞0,

∴在（0,+∞）上,h（x）＞h（0）=1,即ex＞x,

令f′（x）=0,则x=1,经检验,在（0,1）上,f′（x）＜0,f（x）单调递减,在（1,+∞）上,f′（x）＞0,f（x）单调递增,

∴当x=1时,函数y=f（x）取得极小值e﹣1,无极大值；

(2),令,

则,

由（1）知,当x∈（0,+∞）时,

ex＞x,ex（x2﹣2x+2）﹣x＞x（x2﹣2x+2）﹣x=x（x﹣1）2≥0,

∴p′（x）＞0在（0,+∞）上恒成立,

∴f′（x）在定义域上单调递增,

∵,

∴,

∴方程f′（x）=0在（0,+∞）上有唯一解,

设方程f′（x）=0的解为x0,则在（0,x0）上f′（x）＜0,在（x0,+∞）上f′（x）＞0,且1≤x0≤2,

∴f（x）的最小值为,

由f′（x）=0得,代入g（a）得,,

令,则,

∵﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1≤﹣1,

∴ex（﹣x2+2x﹣2）+x≤x﹣ex＜0,

∴φ（x）在[1,2]上为减函数,

∴,

∴g（a）∈[ln2﹣1,e﹣1].