Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为D₁C₁，B₁C₁的中点，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，如图所示．
（1）点D，B，F，E共面吗？
（2）作出直线A₁C与平面BDEF的交点R的位置；
（3）点P，Q，R共线吗？

Answer 1

【答案】分析：（1）点D，B，F，E共面共面．设交点为O，则OC₁=C₁C，同理，直线DE与CC₁也相交，设交点为O₁，证明O₁与O重合，得DE与BF交于O，故D，B，F，E共面．
（2）在正方体AC₁中，连接PQ，说明Q是平面A₁C₁CA与平面BDEF的公共点，P也是平面A₁C₁CA与平面BDEF的公共点；说明R∈平面BDEF，判定R是A₁C与PQ的交点．
（3）点P，Q，R共线．由（2）知，PQ=平面BDEG∩平面A₁ACC₁，再利用平面的基本性质中的公理2即可证得结论．
解答：解：（1）共面，证明：由于CC₁和BF在同一平面内，且不平行，故必相交，设交点为O，则OC₁=C₁C，同理，直线DE与CC₁也相交，设交点为O₁，则O₁C₁=C₁C，故O₁与O重合，得DE与BF交于O，故D，B，F，E共面．
（2）在正方体AC₁中，连接PQ，
∵Q∈A₁C₁，∴Q∈平面A₁C₁CA．又Q∈EF，
∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A₁C₁CA与平面BDEF的公共点，
同理，P也是平面A₁C₁CA与平面BDEF的公共点．
∴平面A₁C₁CA∩平面BDEF=PQ．
又A₁C∩平面BDEF=R，
∴R∈A₁C，
∴R∈平面A₁C₁CA，
R∈平面BDEF．
∴R是A₁C与PQ的交点．如图．
（3）共线，证明：由（2）知，PQ=平面BDEG∩平面A₁ACC₁，R∈A₁C，
而A₁C?平面A₁ACC₁，故R∈平面A₁ACC₁，
同理，R∈平面BDEF，
故R∈PQ，即P，Q，R三点共线．
点评：本题考查棱柱的结构特征，考查作图能力，是中档题．