Question

已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|m＜x＜4m}，
（Ⅰ）若A?B，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）是否存在m使得A∪B=A？若有请求出m的范围，若无则说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵A={x|x²-6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，B={x|m＜x＜4m}，A?B，
∴m＞0，且 m≤2，4≤4m，2个等号不能同时成立，故 1≤m≤2，
∴实数m的取值范围[1，2]．
（Ⅱ）若A∪B=A，则 B⊆A，当B=∅时，显然满足 B⊆A，此时，m≤0．
当B≠∅时，由 B⊆A可得2≤m，且4m≤4，解得m∈∅，
综上可得，存在m≤0，使得A∪B=A成立，此时，实数m的取值范围（-∞，0]．
分析：（Ⅰ）先化简集合A，利用A?B，画出数轴，考查端点值的大小关系，解出实数m的取值范围．
（Ⅱ）A∪B=A等价于B⊆A，分B=∅和B≠∅两种情况，分别求出 m值的范围，再取并集，即得所求．
点评：本题考查一元二次不等式的解法，集合间关系的判断和应用，当 B⊆A时，利用端点的大小关系解出 m值的范围．