Question

（本小题满分12分）已知，其中是自然常数，

（1）讨论时, 的单调性、极值；

（2）求证：在（1）的条件下，;

（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）当时， ，此时单调递减，

当时，，此时单调递增 ，的极小值为 ；

（2） ；（3）存在实数，使得当时有最小值3. 

【解析】本题主要考查导数的应用．导数一般应用在求切线的斜率极其方程，求函数的单调区间以及极值，和求在某个区间上的最值问题上．导数的应用是高考考查的重点，须重视。

（1）把a=1代入原函数，求出其导函数，即可求f（x）的单调性、极值；

（2）的极小值为1，即在上的最小值为1，即... .（5分）

令，判定单调性得到证明。

（3）先求出其导函数，通过分类讨论分别求出导数为0的根，以及单调性和极值，再与f（x）的最小值是3相结合，即可得出结论．

解：（1），   ………………..………....（1分）

∴当时， ，此时单调递减

当时，，此时单调递增    …………………………....（3分）

∴的极小值为                         ……………….……....（4分）

（2）的极小值为1，即在上的最小值为1，即... .（5分）

令，，  …………………………………………....（6分）

当时，，在上单调递增  …………………………...（7分）

∴ 

∴在（1）的条件下，           ………………………….……....（8分）

（3）假设存在实数，使（）有最小值3，

                      …………………………………....（9分）

① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.             ……………………………………….……....（10分）

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件.  ……………………………....（11分）

③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3. 

                        ……………………………………………………………....（12分）