Question

已知曲线C：过C上一点作一斜率为的直线交曲线C于另一点，点列（＝1，2，3，???）的横坐标构成数列，其中.

（1）求与的关系式；

（2）求证：是等比数列；

（3）求证：.

Answer 1

解：（I）过C：上一点作斜率为的直线交C于另一点，

则         

于是有：.                                     

（II）记，则由（I）得：  

因为，故，  

因此数列是等比数列                                       

（III）由（II）可知：，则         

∴                                                    

若为奇数：

                        

于是：①当为偶数时：

②当为奇数时，为偶数，于是有：

＝，

综合①②可知原不等式得证.