Question

已知数列{a_n}中a₁=1，数列{b_n}中b₁=0当n≥2时，an=

2an-1+bn-1

3

，bn=

an-1+2bn-1

3

，求a_n与b_n．

Answer 1

分析：分析已知条件，考虑将an=

2an-1+bn-1

3

，bn=

an-1+2bn-1

3

相加减，构造新的数列求解．

解答：解：当n≥2时，an=

2an-1+bn-1

3

①，bn=

an-1+2bn-1

3

②，
①-②得a_n-b_n=

1

3

（a_n-1-b_n-1），所以数列{a_n-b_n}是首项为a₁-b₁=1，公比为

1

3

的等比数列，
所a_n-b_n=(

1

3

)n-1③
①+②得a_n+b_n=a_n-1+b_n-1=1④
③④联立解得a_n=

1

2

[1+(

1

3

)n-1]，b_n=

1

2

[1-(

1

3

)n-1]

点评：本题是数列通项公式求解，根据题目特点，构造了两个特殊数列{a_n-b_n}，数列{a_n+b_n}，分别求出了通项公式，再利用方程思想进行求解，体现了构造/转化的思想方法．