Question

【题目】已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3
（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；
（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：若二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3的图象是开口朝上，且以直线x=8为对称轴的抛物线，

故函数在区间[﹣1，1]上为减函数，

若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，

则 ，即 ，

解得：q∈[﹣20，12]

（2）解：若存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51，

当0＜q≤8时，f（8）=q﹣61=﹣51，解得：q=10（舍去），

当8＜q＜10时，f（q）=q2﹣15q+3=﹣51，解得：q=9，或q=6（舍去），

综上所述，存在q=9，使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51

【解析】（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则 ，即 ，解得实数q的取值范围；（2）假定存在满足条件的q值，结合二次函数的图象和性质，对q进行分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．