Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，点F₁，F₂分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点F₂的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求△F₁MN的内切圆面积的最大值和此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，可得e=

c

a

=

1

2

，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切，求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的方程x=my+1，和椭圆方程联立，得到当S△F1MN最大时，r也最大，△MF₁N的内切圆面积也最大，利用根与系数关系把△MF₁N的面积转化为含有m的代数式，利用基本不等式求得最值并得到直线l的方程．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，∴e=

c

a

=

1

2

，
∵椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切．
∴b=

6

2

=

3

，
∴a=2，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设直线l的方程为：x=my+1，代入椭圆方程可得（3m²+4）y²+6my-9=0．
△=（6m）²+36（3m²+4）=144m²+144＞0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，
∴S△F1MN=

1

2

|F₁F₂||y₁-y₂|=

12 m2+1

3m2+4

=

12

3 m2+1 + 1 m2+1

≤3（m=0时取等号），
△MF₁N的内切圆半径为r，则S△F1MN=

1

2

（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）r=4r，
∴r_max=

3

4

，
这时△MF₁N的内切圆面积的最大值为

9

16

π，直线l的方程为x=1．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．