Question

已知函数f（x）=

ax

x2-1

的定义域为[-

1

2

，

1

2

]，（a≠0）
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）要判断函数的奇偶性，首先必须求出函数的定义域，并判断是否关于原点对称，如果对称，再利用奇偶函数的定义判断；
（2）

解答： 解：（1）由已知，函数的定义域关于原点对称，
函数f（-x）=

-ax

x2-1

=-

ax

x2-1

=-f（x），f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）=

ax

x2-1

=

a

x- 1 x

，
当a＞0时，f（x）是减函数，函数在[-

1

2

，

1

2

]的最大值为f（-

1

2

）=

2

3

a；
当a＜0时，f（x）是增函数，函数在[-

1

2

，

1

2

]的最大值为f（

1

2

）=-

2

3

a；
综上f（x）=

2 3 a，a＞0 - 2 3 a，a＜0

．

点评：本题考查函数奇偶性的判断，以及函数的最值的求法；简单的推论a，是本题求最值的关键．