Question

20．f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．若f（2）=1，解关于x的不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{x}$）＜2．

Answer 1

分析 若f（2）=1，结合抽象函数将不等式化为f（x+3）-f（$\frac{1}{x}$）＜f（2）+f（2），再进行转化，结合函数的单调性解不等式即可．

解答 解：∵f（2）=1，∴2=1+1=f（2）+f（2），
对于不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{x}$）＜2，有$\left\{\begin{array}{l}{x+3＞0}\\{\frac{1}{x}＞0}\end{array}\right.$，
解可得x＞0，
∴不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{x}$）＜2，
等价为不等式f（x+3）-f（$\frac{1}{x}$）＜f（2）+f（2），
∴f（x²+3x）-f（2）＜f（2），
即f（$\frac{{x}^{2}+3x}{2}$）＜f（2），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴0＜$\frac{{x}^{2}+3x}{2}$＜2，解得-4＜x＜-3或0＜x＜1，
又由x＞0，
即不等式的解集为（0，1）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据函数单调性将不等式进行转化是解决本题的关键．