Question

10．已知点G是△ABC的重心，且AG⊥BG，若λ=$\frac{si{n}^{2}C}{cosCsinAsinB}$，则实数λ的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=$\frac{3}{2}$AB，再应用余弦定理推出AC²+BC²=5AB²，然后运用正弦定理和余弦定理，结合已知条件，即可求出实数λ的值．

解答 解：如图，连接CG，延长交AB于D，
由于G为重心，故D为中点，
∵AG⊥BG，∴DG=$\frac{1}{2}$AB，
由重心的性质得，CD=3DG，即CD=$\frac{3}{2}$AB，
由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC，
∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，
∴AC²+BC²=2AD²+2CD²，
∴AC²+BC²=$\frac{1}{2}$AB²+$\frac{9}{2}$AB²=5AB²，
又∵λ=$\frac{si{n}^{2}C}{cosCsinAsinB}$=$\frac{A{B}^{2}}{BC•AC•cosC}$=$\frac{2A{B}^{2}}{B{C}^{2}+A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\frac{2A{B}^{2}}{4A{B}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查实数值的求法，考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性质，熟练掌握定理及三角函数公式是解本题的关键．