Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{c}x+\frac{3}{8}，（0＜x＜c）}\\{{2}^{-8c}，（c≤x＜1）}}\end{array}\right.$，且满足f（$\sqrt{c}$）=$\frac{1}{4}$．

（1）求常数c的值；

（2）解不等式f（x）＞$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 （1）先判断$\sqrt{c}$与c的大小，代值计算即可；
（2）根据x的范围，分段求出，得到不等式的解集．

解答 解：（1）∵0＜c＜1，
∴$\sqrt{c}$＞c，又f（$\sqrt{c}$）=$\frac{1}{4}$，
∴2^-8c=$\frac{1}{4}$=2^-2，
解得c=$\frac{1}{4}$；
（2）由（1）知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}，0＜x＜\frac{1}{4}}\\{\frac{1}{4}，\frac{1}{4}≤x＜1}\end{array}\right.$，
∵f（x）＞$\frac{1}{8}$，
当0＜x＜$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{8}$＞$\frac{1}{8}$，解得0＜x＜$\frac{1}{4}$，
当$\frac{1}{4}$≤x＜1时，f（x）＞$\frac{1}{8}$恒成立，
综上所述：不等式的解集为（0，1）．

点评 本题考查指数型不等式的解法，考查分类讨论思想与方程思想的综合运用，属于中档题．