Question

13．方程mx²-2（m+5）x+m+22=0的所有实根介于2与5之间（不包括2，5），求m的值．

Answer 1

分析 由条件利用二次函数的性质、函数零点的判定定理，分类讨论求得m的范围．

解答 解：设f（x）=mx²-2（m+5）x+m+22，由题意可得，
当m＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{△={4（m+5）}^{2}-4m（m+22）≥0}\\{2＜\frac{m+5}{m}＜5}\\{f（2）=4m-4（m+5）+m+22＞0}\\{f（5）=25m-10（m+5）+m+22＞0}\end{array}\right.$，求得$\frac{7}{4}$＜m≤$\frac{25}{12}$．
当m＜0时，由$\left\{\begin{array}{l}{△={4（m+5）}^{2}-4m（m+22）≥0}\\{2＜\frac{m+5}{m}＜5}\\{f（2）=4m-4m（m+5）+m+22＜0}\\{f（5）=25m-10m（m+5）+m+22＜0}\end{array}\right.$，求得m无解．
当m=0时，方程即-10x+22=0，满足条件．
综上可得，$\frac{7}{4}$＜m≤$\frac{25}{4}$，或m=0．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．