Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+ax-(a+1)lnx（a＜-1）．
（1）若函数f（x）在x=2处的切线与x轴平行，求a的值，并求出函数的极值；
（2）已知函数g（x）=4lnx-2x+ln（b²-2b），在（1）的条件下，若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f(x)=

1

2

x2+ax-(a+1)lnx（a＜-1）
∴f（x）的定义域为（0，+∞）且f′(x)=x+a-

a+1

x

=

x2+ax-(a+1)

x

，（1分）
∵f（x）在x=2处的切线与x轴平行
∴f'（2）=0
∴a=-3，（3分）此时f'（x）=

(x-1)(x-2)

x

∴当x∈（0，1）时f^′（x）＞0，x∈（1，2）时f^′（x）＜0，x∈（2，+∞）时f^′（x）＞0
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
∴当x=1时，f（x）有极大值f(1)=-

5

2

当x=2时，f（x）有极小值f（2）=-4+2ln2．（6分）
（2）令F（x）=f（x）-g（x）
则F（x）的定义域为（0，+∞），F（x）=

1

2

x2-3x+2lnx-4lnx+2x-ln（b²-2b）=

1

2

x2-x-2lnx-ln（b²-2b）（x＞0），
∴F′（x）=x-1-

2

x

=

x2-x-2

x

=

(x-2)(x+1)

x

．                                （8分）
∴当0＜x＜2时，F′（x）＜0，所以F（x）在（0，2）上单调递减；
当x＞2时，F′（x）＞0，所以F（x）在（2，+∞）上单调递增．
∴当x=2时，F（x）_min=2-2-2ln2-ln（b²-2b）=-2ln2-ln（b²-2b），
∴要使在（1）的条件下，若f（x）＞g（x）恒成立只需要F（x）_min=-2ln2-ln（b²-2b）＞0
即ln（b²-2b）＜-2ln2=ln

1

4

（11分）
∴

b2-2b＞0 b2-2b＜ 1 4

?

b＞2或b＜0 2- 5 2 ＜b＜ 2+ 5 2

?

2- 5

2

＜b＜0或2＜b＜

2+ 5

2

（13分）．