Question

7．已知实数a，b，c∈（0，1），设$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{1-b}$，$\frac{2}{b}$+$\frac{1}{1-c}$，$\frac{2}{c}$+$\frac{1}{1-a}$这三个数的最大值为M，则M的最小值为（　　）

• A． 5
• B． 3+2$\sqrt{2}$
• C． 3-2$\sqrt{2}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{1-b}$≤M，$\frac{2}{b}$+$\frac{1}{1-c}$≤M，$\frac{2}{c}$+$\frac{1}{1-a}$≤M，由不等式的可加性和乘1法和基本不等式，可得最小值．

解答 解：由题意可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{1-b}$≤M，$\frac{2}{b}$+$\frac{1}{1-c}$≤M，$\frac{2}{c}$+$\frac{1}{1-a}$≤M，
即有3M≥$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{1-b}$+$\frac{2}{b}$+$\frac{1}{1-c}$+$\frac{2}{c}$+$\frac{1}{1-a}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{1-a}$）+（$\frac{2}{b}$+$\frac{1}{1-b}$）+（$\frac{2}{c}$+$\frac{1}{1-c}$），
由0＜a＜1，可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{1-a}$=[a+（1-a）]（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{1-a}$）=3+$\frac{2（1-a）}{a}$+$\frac{a}{1-a}$
≥3+2$\sqrt{\frac{2（1-a）}{a}•\frac{a}{1-a}}$=3+2$\sqrt{2}$．当且仅当a=$\sqrt{2}$（1-a），即a=2-$\sqrt{2}$时，取得最小值3+2$\sqrt{2}$；
同理可得$\frac{2}{b}$+$\frac{1}{1-b}$在b=2-$\sqrt{2}$时，取得最小值3+2$\sqrt{2}$；
$\frac{2}{c}$+$\frac{1}{1-c}$在c=2-$\sqrt{2}$时，取得最小值3+2$\sqrt{2}$．
则3M≥3（3+2$\sqrt{2}$）．即M≥3+2$\sqrt{2}$．
可得M的最小值为3+2$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查最值的求法，注意运用不等式的可加性和乘1法及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．