Question

函数f（x）=x²-4x-4．
（1）求f（x）在闭区间[0，3]上的最大值和最小值．
（2）设f（x）在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t），试写出g（t）的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，能求出f（x）在闭区间[0，3]上的最大值和最小值．
（2）当t＞2时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，由g（t）=f（t）=t²-4t-4，利用分类讨论思想能求出g（t）．

解答：解：（1）f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8．
二次函数f（x）的图象是一条开口方向向上的抛物线，对称轴方程是x=2，…（2分）
所以，函数f（x）在[0，2]上单调递减，
f（x）在[2，3]上单调递增．…（4分）
f（0）=-4，f（2）=-8，f（3）=-7．
所以，当x=2时，f（x）_min=-8，当x=0时，f（x）_max=-4．…（6分）
（2）当t＞2时，f（x）在[t，t+1]上是增函数．
∴g（t）=f（t）=t²-4t-4．…（8分）
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，g（t）=f（2）=-8．…（10分）
当t+1＜2，即t＜1时，f（x）在区间[t，t+1]上是减函数．
∴g（t）=f（t+1）=t²-2t-7．…（12分）
综上可知：g（t）=

t2-2t-7，t＜1 -8，1≤t≤2 t2-4t-4，t＞2

．…（14分）

点评：本题考查函数的最值的求法，考查函数的解析式的求法，解题时要认真审题，注意配方法和分类讨论法的合理运用．