Question

【题目】已知函数．

（1）试讨论的单调性；

（2）证明：对于正数，存在正数，使得当时，有；

（3）设（1）中的的最大值为，求得最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明过程如解析；（2）对于正数，存在正数，使得当时，有；（3）的最大值为

【解析】【试题分析】（1）先对函数进行求导，再对导函数的值的符号进行分析，进而做出判断；（2）先求出函数值 ，进而分和两种情形进行分析讨论，推断出存在使得，从而证得当时，有成立；（3）借助（2）的结论在上有最小值为，然后分两种情形探求的解析表达式和最大值。

证明：（1）由于 ，且，

故在上单调递减，在上单调递增．

（2）因为 ，

当时，取．此时，当时，有成立．

当时，由于，

故存在使得．

此时，当时，有成立．

综上，对于正数，存在正数，使得当时，有．

（3）由（2）知在上的最小值为．

当时， ，则是方程满足的实根，

即满足的实根，

所以．

又在上单调递增，故．

当时， ，由于，

故．此时， ．

综上所述， 的最大值为．