Question

【题目】设数列{an}满足：an+1=an2﹣nan+1，n=1，2，3，…
（1）当a1=2时，求a2 ， a3 ， a4并由此猜测an的一个通项公式；
（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有
①an≥n+2
② ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a1=2，得a2=a12﹣a1+1=3

由a2=3，得a3=a22﹣2a2+1=4

由a3=4，得a4=a32﹣3a3+1=5

由此猜想an的一个通项公式：an=n+1（n≥1）

（2）解：（i）用数学归纳法证明：

①当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立．

②假设当n=k时不等式成立，即ak≥k+2，那么ak+1=ak（ak﹣k）+1≥（k+2）（k+2﹣k）+1=2k+5≥k+3．

也就是说，当n=k+1时，ak+1≥（k+1）+2

据①和②，对于所有n≥1，有an≥n+2．

（ii）由an+1=an（an﹣n）+1及（i）可得：

对k≥2，有ak=ak﹣1（ak﹣1﹣k+1）+1≥ak﹣1（k﹣1+2﹣k+1）+1=2ak﹣1+1

ak≥2k﹣1a1+2k﹣1﹣2+1=2k﹣1（a1+1）﹣1

于是 ，k≥2

【解析】本题考查的知识点是归纳推理和数学归纳法．（1）由列{an}满足：an+1=an2﹣nan+1，n=1，2，3，…及a1=2，我们易得到a2 ， a3 ， a4的值，归纳数列中每一项的值与序号的关系，我们可以归纳推理出an的一个通项公式．（2）①an≥n+2的证明可以使用数学归纳法，先证明n=1时不等式成立，再假设n=k时不等式成立，进而论证n=k+1时，不等式依然成立，最终得到不等式an≥n+2恒成立．②的证明用数学归纳法比较复杂，观察到不等式的结构形式，可采用放缩法进行证明．
【考点精析】关于本题考查的归纳推理和数学归纳法的定义，需要了解根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能得出正确答案．