Question

已知函数 f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

，
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断并证明f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）在（0，1）内，求使关系式f(x)＞f(

1

3

)成立的实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据分式函数分母不能为零和对数函数真数大于零求解；
（Ⅱ）由（1）知定义域关于原点对称，再分析f（-x）与f（x）的关系；
（Ⅲ）先证明f（x）在（0，1）内单调递减，即在给定的区间上任取两个变量，且界定其大小，再作差变形，再与零进行比较，关键是变形到位用上条件．最后利用单调性将原不等式转化为整式不等式求解即可．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）有意义，需

x≠0 1+x 1-x ＞0

解得-1＜x＜1且x≠0，
∴函数定义域为x|-1＜x＜0或0＜x＜1；
（Ⅱ）函数f（x）为奇函数，
∵f（-x）=f(-x)=-

1

x

-log2

1-x

1+x

=-

1

x

+log2

1+x

1-x

=-f(x)，
又由（1）已知f（x）的定义域关于原点对称，
∴f（x）为奇函数；
（Ⅲ）设0＜x₁＜x₂＜1，∵

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，
又x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，∴

1

x1

-

1

x2

＞0①
又

1+x1

1-x1

-

1+x2

1-x2

=

2(x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

，∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴0＜

1+x1

1-x1

＜

1+x2

1-x2

；
∴log2

1+x1

1-x1

＜log2

1+x2

1-x2

．②
由①②，得f(x1)-f(x2)=(

1

x1

-

1

x2

)+(log2

1+x2

1-x2

-log2

1+x1

1-x1

)＞0，
∴f（x）在（0，1）内为减函数；
又f(x)＞f(

1

3

)，∴使f(x)＞f(

1

3

)成立x的范围是0＜x＜

1

3

．

点评：本题主要考查函数的基本性质，涉及到定义域的求法，要注意分式函数，根式函数和基本函数的定义域；还考查了奇偶性的判断，要注意定义域．