【题目】设定义在(0,+∞)上的函数 f(x),对于任意正实数 a、b,都有 f(ab)=f(a)+f(b)﹣1,f(2)=0,且当 x>1 时,f(x)<1.
(1)求 f(1)及的值;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是减函数.
【答案】(1)f()=2;(2)见解析
【解析】
(1)可令a=b=1,解得f(1)=1,再根据f(2×)=f(2)+f()求解f()即可
(2)可设0<x1<x2,可得>1,将f(x2)表示成f(x1),再结合f(ab)=f(a)+f(b)﹣1的性质进行判断即可
(1)令a=b=1得f(1)=f(1)+f(1)﹣1,得f(1)=1,∵f(2)=0,
∴f(2×)=f(2)+f()﹣1=f(1),
则0+f()﹣1=1,得f()=2;
(2)证明:设0<x1<x2,可得>1,可得f()<1,
由f(x2)=f(x1)=f(x1)+f()﹣1<f(x1),
可得函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.
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【题目】已知f(x)=﹣3x2+a(6﹣a)x+6.
(Ⅰ)解关于a的不等式f(1)>0;
(Ⅱ)若不等式f(x)>b的解集为(﹣1,3),求实数a,b的值.
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【题目】甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为。
(1)记甲击中目标的次数为,求的概率分布及数学期望;
(2)求乙至多击目标2次的概率;
(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率。
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【题目】设向量 =(cosθ,sinθ), =(﹣ , );
(1)若 ∥ ,且θ∈(0,π),求θ;
(2)若|3 + |=| ﹣3 |,求| + |的值.
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【题目】以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据:
(1)画出数据对应的散点图;
(2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线;
(3)据(2)的结果估计当房屋面积为时的销售价格.
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【题目】椭圆()的离心率是,点在短轴上,且。
(1)球椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数,使得为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。
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【题目】某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q=-t+40(0<t≤30,t∈N).
(1)求这种商品的日销售金额的解析式;
(2)求日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+a|.
(Ⅰ)当a=2时,解不等式f(x)>6;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<a2﹣1有解,求实数a的取值范围.
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