(13分)一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植绿色灌木,周围的圆环分为n(n≥3,n∈N)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花.
⑴ 如图1,圆环分成的3等份为a1,a2,a3,有多少不同的种植方法?
如图2,圆环分成的4等份为a1,a2,a3,a4,有多少不同的种植方法?
⑵ 如图3,圆环分成的n等份为a1,a2,a3,……,an,有多少不同的种植方法?
)⑴如图1,先对a1部分种植,有3种不同的种法,再对a2、a3种植,
因为a2、a3与a1不同颜色,a2、a3也不同。 所以S(3)=3×2=6(种)。
如图2,S(4)=3×2×2×2-S(3)=18(种)。
⑵
【解析】本试题主要考查了排列组合的运用,解决实际问题,同时也考查了数列的求和的运用,数列的概念的综合试题。
(1)先对a1部分种植,有3种不同的种法,再对a2、a3种植,
因为a2、a3与a1不同颜色,a2、a3也不同。 所以S(3)=3×2=6(种)。………3分
如图2,S(4)=3×2×2×2-S(3)=18(种)
(2)圆环分为n等份,对a1有3种不同的种法,对a2、a3、…、an都有两种不同的种法,但这样的种法只能保证a1与ai(i=2、3、……、n-1)不同颜色,但不能保证a1与an不同颜色.
于是一类是an与a1不同色的种法,这是符合要求的种法,记为种. 另一类是an与a1同色的种法,这时可以把an与a1看成一部分,这样的种法相当于对n-1部分符合要求的种法,记为.共有3×2n-1种种法
因此可得到,进而分析求解。
)⑴如图1,先对a1部分种植,有3种不同的种法,再对a2、a3种植,
因为a2、a3与a1不同颜色,a2、a3也不同。 所以S(3)=3×2=6(种)。………3分
如图2,S(4)=3×2×2×2-S(3)=18(种)。………………………………………6分
⑵如图3,圆环分为n等份,对a1有3种不同的种法,对a2、a3、…、an都有两种不同的种法,但这样的种法只能保证a1与ai(i=2、3、……、n-1)不同颜色,但不能保证a1与an不同颜色.
于是一类是an与a1不同色的种法,这是符合要求的种法,记为种. 另一类是an与a1同色的种法,这时可以把an与a1看成一部分,这样的种法相当于对n-1部分符合要求的种法,记为.
共有3×2n-1种种法.………………………………………………………………9分
这样就有.即,
则数列是首项为公比为-1的等比数列.……………10分
则
由⑴知:,∴.
∴.………………………………………………………12分
答:符合要求的不同种法有……………………………13分
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(满分14分)一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为n(n≥3,n∈N)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花.
(1)如图1,圆环分成的3等份为a1,a2,a3,有多少不同的种植方法?如图2,圆环分成的4等份为a1,a2,a3,a4,有多少不同的种植方法?
(2)如图3,圆环分成的n等份为a1,a2,a3,……,an,有多少不同的种植方法?
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