Question

21、一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（n≥3，n∈N）等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
（1）如图1，圆环分成的3等份为a₁，a₂，a₃，有多少不同的种植方法？如图2，圆环分成的4等份为a₁，a₂，a₃，a₄，有多少不同的种植方法？
（2）图3，圆环分成的n等份为a₁，a₂，a₃3，…，a_n，有多少不同的种植方法？

Answer 1

分析：（1）遇到这种需要找规律的问题，首先做比较简单的情况，看图一先对a₁部分种植，有3种不同的种法，再对a₂、a₃种植，a₂、a₃与a₁不同颜色，a₂、a₃也不同，由分步计数原理得到结果．
（2）由题意知圆环分为n等份，做法同前两种情况类似，对a₁有3种不同的种法，对a₂、a₃、、a_n都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a₁与a_i（i=2、3、、n-1）不同颜色，但不能保证a₁与a_n不同颜色．在这种情况下要分类，一类是a_n与a₁不同色的种法，另一类是a_n与a₁同色的种法，根据分类计数原理得到结果．

解答：解：（1）如图1，先对a₁部分种植，有3种不同的种法，再对a₂、a₃种植，
∵a₂、a₃与a₁不同颜色，a₂、a₃也不同．
∴S（3）=3×2=6（种）
如图2，S（4）=3×2×2×2-S（3）=18（种）
（2）如图3，圆环分为n等份，对a₁有3种不同的种法，对a₂、a₃、、a_n都有两种不同的种法，
但这样的种法只能保证a₁与a_i（i=2、3、、n-1）不同颜色，但不能保证a₁与a_n不同颜色．
于是一类是a_n与a₁不同色的种法，这是符合要求的种法，记为S（n）（n≥3）种．
另一类是a_n与a₁同色的种法，这时可以把a_n与a₁看成一部分，这样的种法相当于对n-1部分符合要求的种法，记为S（n-1）．
共有3×2^n-1种种法．
这样就有S（n）+S（n-1）=3×2^n-1．
即S（n）-2ⁿ=-[S（n-1）-2^n-1]，则数列{S（n）-2ⁿ}（n≥3）是首项为S（3）-2³公比为-1的等比数列．
则S（n）-2ⁿ=[S（3）-2³]（-1）^n-3（n≥3）．
由（1）知：S（3）=6
∴S（n）-2ⁿ+（6-8）（-1）^n-3．
∴S（n）=2ⁿ-2•（-1）^n-3．

点评：本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，和这道题目类似的题，作为高考题目考过，是一个易错题．