Question

3．已知函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在[-$\frac{π}{6}$，0]上的最小值为$-\sqrt{3}$，当把f（x）的图象上所有的点向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后，得到的函数g（x）的图象关于直线x=$\frac{7π}{12}$对称．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若函数g（x）在y轴右侧的第一个零点恰为A，a=5，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2sin（-$\frac{π}{6}$ω）=-$\sqrt{3}$，解得ω，利用平移变换规律可得g（x）=2sin（2x-2φ），利用正弦函数的对称性可得2（$\frac{7π}{12}$-φ）=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合范围0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可求φ，即可得解函数g（x）的解析式．
（2）由题意可得2sin（2A-$\frac{2π}{3}$）=0，解得2A-$\frac{2π}{3}$=kπ，k∈Z，由题意可解得A，由余弦定理可得25≥bc，利用三角形的面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在[-$\frac{π}{6}$，0]上的最小值为$-\sqrt{3}$，
∴2sin（-$\frac{π}{6}$ω）=-$\sqrt{3}$，解得ω=2，
把f（x）的图象上所有的点向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后，
得到的函数g（x）=2sin[2（x-φ）]=2sin（2x-2φ），
∵函数g（x）的图象关于直线x=$\frac{7π}{12}$对称，
∴2（$\frac{7π}{12}$-φ）=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=$\frac{π}{3}-kπ$，k∈Z，
∴由0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{3}$．
∴函数g（x）的解析式为：g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{3}$）]=2sin（2x-$\frac{2π}{3}$）．
（2）∵函数g（x）在y轴右侧的第一个零点恰为A，
∴由2sin（2A-$\frac{2π}{3}$）=0，解得2A-$\frac{2π}{3}$=kπ，k∈Z，可得：A=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，令k=0，可得A=$\frac{π}{3}$．
∵a=5，
∴由余弦定理可得：25=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$$≤\frac{1}{2}×25×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．
故△ABC的面积S的最大值为$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．