Question

已知F₁，F₂分别为椭圆C₁：＝1(a>b>0)的上下焦点，其中F₁是抛物线C₂：x²＝4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF₁|＝.

(1)试求椭圆C₁的方程；
(2)与圆x²＋(y＋1)²＝1相切的直线l：y＝k(x＋t)(t≠0)交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）＝1（2）(－2,0)∪(0,2)

(1)由C₂：x²＝4y知F₁(0,1)，c＝1，
设M(x₀，y₀)(x₀<0)，
因M在抛物线C₂上，
故＝4y₀，①
又|MF₁|＝，则y₀＋1＝②
由①②解得x₀＝－，y₀＝.
而点M在椭圆上，
∴2a＝|MF₁|＋|MF₂|＝＝4.
∴a＝2，∴b²＝a²－c²＝3.
故椭圆C₁的方程为＝1.
(2)因为直线l：y＝k(x＋t)与圆x²＋(y＋1)²＝1相切，
所以＝1⇒k＝(t≠0，k≠0)．
把y＝k(x＋t)代入＝1并整理，得
(4＋3k²)x²＋6k²tx＋3k²t²－12＝0，
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则有
x₁＋x₂＝－，y₁＋y₂＝kx₁＋kt＋kx₂＋kt＝k(x₁＋x₂)＋2kt＝，因为，λ＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)
所以，P
又因为点P在椭圆上，
所以，＋＝1⇒λ²＝＝ (t≠0)
因为t²>0，所以＋1>1，
所以0<λ²<4，
当k＝0时，因为直线l与圆x²＋(y＋1)²＝1相切，
则t＝0(舍去)或t＝－1，
当t＝－1时，
y＝－1与椭圆有一个交点，不满足题意，
舍去．所以λ的取值范围是(－2,0)∪(0,2)．