Question

l₁，l₂过p（-

2

，0）且互相垂直，l₁，l₂与双曲线y²-x²=1交于A₁，B₁及A₂，B₂
①求l₁斜率的取值范围；
②若A₁为双曲线的一个顶点，求|A₂B₂|的值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①显然l₁、l₂斜率都存在，设l₁的斜率为k₁，得到l₁、l₂的方程，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y得到关于x的二次方程，再结合根的判别即可求得斜率k₁的取值范围；
②利用①中得到的关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用弦长公式求|A₂B₂|的值．

解答： 解：①显然l₁、l₂斜率都存在，否则l₁、l₂与曲线不相交．设l₁的斜率为k₁，则l₁的方程为y=k₁（x+

2

）．
联立得y=k₁（x+

2

），y²-x²=1，
消去y得（k₁²-1）x²+2

2

k₁²x+2k₁²-1=0．①
根据题意得k₁²-1≠0，②
△₁＞0，即有12k₁²-4＞0．③
完全类似地有

1

k12

-1≠0，④
△₂＞0，即有12•

1

k12

-4＞0，⑤
从而k₁∈（-

3

，-

3

3

）∪（

3

3

，

3

）且k₁≠±1；
②A₁为双曲线的一个顶点，则k₁=

2

2

，
由弦长公式得|A₂B₂|=

1+ 1 k12

•

12-4k12 (k12-1)2

=

1+2

•

12-2 1 4

=2

30

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的交点，考查弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．