Question

【题目】已知函数，的最大值为.

（1）求的值；

（2）试推断方程是否有实数解？若有实数解，请求出它的解集.

Answer 1

【答案】（1）；（2）无实数解

【解析】

（1）由题意，对函数f（x）=-x+lnx求导数，研究出函数在定义域上的单调性，判断出最大值，即可求出；

（2）由于函数的定义域是正实数集，故方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x可变为，再分别研究方程两边对应函数的值域，即可作出判断．

(1)已知函数，则，

可得，

令，x=1，

当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0.

∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数，

∴；

(2)|2x(xlnx)|=2lnx+x可得，

由(1)知f(x)max=f(1)=1，即x+lnx≤1，

∴|xlnx|≥1，

又令,，

令g′(x)>0,得0<x<e;令g′(x)<0，得x>e，

∴g(x)的增区间为(0,e),减区间为(e,+∞)，

∴,∴g(x)<1，

∴|xlnx|>g(x),即恒成立，

∴方程即方程|2x(xlnx)|=2lnx+x没有实数解.