Question

3．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin²B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=$\frac{1}{4}$，则$\frac{a}{c}$=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理将sin²B=2sinAsinC，转换成b²=2ac，根据余弦定理化简得：${a}^{2}+{c}^{2}-\frac{5}{2}ac=0$，同除以c²，设c²=t，解得t的值，根据条件判断$\frac{a}{c}$的值．

解答 解：三角形ABC中，sin²B=2sinAsinC，由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
得：b²=2ac，
由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，
即：${a}^{2}+{c}^{2}-\frac{5}{2}ac=0$，等号两端同除以c²，
得：$（\frac{a}{c}）^{2}-\frac{5}{2}•\frac{a}{c}+1=0$，令$\frac{a}{c}$=t，
∴2t²-5t+2=0，
解得：t=2，t=$\frac{1}{2}$，
a＞c，
∴t=2，则$\frac{a}{c}$=2，
故答案选：A．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理与一元二次方程相结合，计算过程简单，属于中档题．