Question

18．已知f（x）的定义域为R，且f（x+2）=f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x²．设I_k=（2k-1，2k+1]，k∈Z．
（1）求f（x）在I_k上的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=ax在I_k上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用2为周期，得2k也是周期，可得f（x）=f（x-2k）即可求出答案；
（2）转化为一元二次方程在区间上恰有两个不相等的实根，再求有两个不相等的实根成立的条件即可．

解答 解：（1）∵f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以2为周期的函数，则当k∈Z时，2k也是f（x）的周期．
∵当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，
且I_k=（2k-1，2k+1]，k∈Z，
∴当x∈I_k时（x-2k）∈[-1，1]，
∴f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²，
即对I_k=（2k-1，2k+1]，k∈Z时，f（x）=（x-2k）²．
（2）当k∈Z且x∈I_k时，利用（1）的结论可得方程（x-2k）²=ax，
整理得：x²-（4k+a）x+4k²=0，
它的判别式是△=（4k+a）²-16k²=a（a+8k）．
上述方程在区间I_k上恰有两个不相等的实数根的充要条件是
a满足$\left\{\begin{array}{l}{a（a+8k）＞0}\\{2k-1＜\frac{1}{2}[4k+a-\sqrt{a（a+8k）}]}\\{2k+1≥\frac{1}{2}[4k+a+\sqrt{a（a+8k）}]}\end{array}\right.$
①当a＞0时，$\sqrt{a（a+8k）}$≤2-a，
即$\left\{\begin{array}{l}{a（a+8k）≤（2-a）^{2}}\\{2-a＞0}\end{array}\right.$；
②当a＜-8k时，a+2＜2-8k＜0易知$\sqrt{a（a+8k）}$＜2+a无解，
综合以上，得0＜a≤$\frac{1}{2k+1}$．

点评 本题主要考查函数的周期性，借助函数的周期性对函数解析式的求法和根的存在性，根的个数的判断的综合考查，属于难题．