Question

9．已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

下列关于函数f（x）的命题：
①函数y=f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为5；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．
其中所有真命题的序号为②③．

Answer 1

分析 根据函数的图象，可判断①的真假；
根据已知导函数的图象，易分析出f（x）在[0，2]上的单调性，可判断②的真假；
根据已知导函数的图象，及表中几个点的坐标，易分析出0≤t≤5，均能保证x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，进而判断③的真假；
由f（x）=a，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）-a有几个零点，进而判断④的真假．

解答 解：由图象不能判断y出f（x）是否为周期函数，故①不正确；
由已知中y=f′（x）的图象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是减函数，即②正确；
由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③正确
由f（x）=a，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）-a有几个零点，所以④不正确．
答案为：②③

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断，利用导数研究函数的单调性，其中根据已知，分析出函数的大致形状，利用图象分析函数的性质是解答本题的关键．