Question

1．过点M（1，0）的直线l与圆C：x²+（y-2）²=4交于A，B两点．N为圆C与y轴正半轴的交点．
（I）若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直线l的方程：
（II）证明：直线AN，BN的斜率之和为定值．

Answer 1

分析 （1）分两种情况考虑：①直线l垂直于x轴时，可得出直线l为x=1，此时直线l与圆C的两交点距离|AB|为$2\sqrt{3}$，满足题意；②当直线l不垂直x轴时，设直线l的斜率为k，由M及斜率k表示出直线l的方程，设圆心到直线的距离为d，由已知截取的弦长，根据垂径定理及勾股定理列出关于d的方程，求出方程的解得到d的值，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，由d的值列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线方程；
（2）可设直线方程为y=k（x-1），然后联立圆的方程得到关x的一个一元二次方程，然后设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），表示出AN和BN的斜率之和，利用一元二次方程的根与系数的关系求证即可

解答 解：（1）①直线l垂直于x轴时，可得出直线l为x=1，此时直线l与圆C的两交点距离|AB|为$2\sqrt{3}$，满足题意；
②当直线l不垂直x轴时，设直线方程为y=k（x-1），因为|AB|=$2\sqrt{3}$，所以半弦长=$\sqrt{3}$，由勾股定理得弦心距d=$\sqrt{{2}^{2}-{\sqrt{3}}^{2}}=1$，
又有点到直线的距离公式可得弦心距d=$\frac{|0×k-1×2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+（-1）^{2}}}$=1，解得k=$-\frac{3}{4}$，此时直线方程为3x+4y-3=0，
所以满足题设条件的直线l的方程为x=1或3x+4y-3=0．
（2）证明：由题设容易得到点N坐标（0，4），
设直线方程为y=k（x-1），联立圆的方程，可得关于x的一元二次方程：（k²+1）x²-（2k²+4k）x+（k²+4k）=0，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系（韦达定理）可得x₁•x₂=$\frac{{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}$，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}$；
AN的斜率K_AN=$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}}=\frac{k（{x}_{1}-1）-4}{{x}_{1}}=\frac{k{x}_{1}-（k+4）}{{x}_{1}}$，BN的斜率K_BN=$\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{2}}=\frac{k（{x}_{2}-1）-4}{{x}_{2}}=\frac{k{x}_{2}-（k+4）}{{x}_{2}}$，
则K_AN+K_BN=$\frac{k{x}_{1}-（k+4）}{{x}_{1}}+\frac{k{x}_{2}-（k+4）}{{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-（k+4）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$2k-\frac{（k+4）•\frac{2{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}}{\frac{{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+1}}$=2k-2k-4=-4．
所以AN与BN的斜率之和为定值，从而结论得证．

点评 考察直线与圆的位置关系，可联立直线与圆的关系，采用数形结合思想，将问题转化为学习过的点与直线间的距离公式问题以及二元一次方程根与系数的关系，求解或者求证即可，属于中档题．