Question

12．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂$\frac{6}{{a}_{2n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过分公比q是否为1两种情况讨论，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知分两种情况讨论，进而求出{b_n}的通项公式，计算即得结论．

解答 解：（1）①当公比q=1时，
∵a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$，
∴a_n=$\frac{3}{2}$；
②当q≠1时，
∵a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$，
∴a₁q²=$\frac{3}{2}$，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=$\frac{9}{2}$，
解得：a₁=6，q=-$\frac{1}{2}$，
此时a_n=6×$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$；
综上所述，数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{3}{2}$或a_n=6×$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$；
（2）①当a_n=$\frac{3}{2}$时，b_n=log₂$\frac{6}{{a}_{2n+1}}$=2，
故T_n=2n；
②当a_n=6×$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$时，b_n=log₂$\frac{6}{{a}_{2n+1}}$=2n，
此时T_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）；
综上所述，T_n=2n或T_n=n（n+1）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．