Question

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos²$\frac{B-C}{2}$-sinB•sinC=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$．
（1）求A；
（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式，结合差、和角的余弦公式，即可求A；
（2）若a=4，利用余弦定理，结合基本不等式，三角形的面积公式，即可求△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵cos²$\frac{B-C}{2}$-sinB•sinC=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$cos（B-C）-sinB•sinC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴cos（B+C）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{4}$；
（2）由余弦定理可得16=b²+c²-$\sqrt{2}bc$≥（2-$\sqrt{2}$）bc，当且仅当b=c时取等号，
∴bc≤16+8$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{2}}{4}bc$≤4（$\sqrt{2}$+1），
∴△ABC面积的最大值为4（$\sqrt{2}$+1）．

点评 本题考查二倍角公式，差、和角的余弦公式，考查余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题．