Question

13．函数f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x-1，x∈[0，+∞）的值域为（　　）

• A． （-$\frac{5}{4}$，1]
• B． [-$\frac{5}{4}$，-1]
• C． （-1，1]
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 令t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$，由x的范围结合指数函数的性质求出t的范围，问题转化为求f（t）的值域，根据二次函数的性质解出即可．

解答 解：令t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$，由x∈[0，+∞），得：t∈（0，1]，
∴f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x-1转化为f（t）=${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{5}{4}$，
∴t=$\frac{1}{2}$时，f（x）最小，最小值是-$\frac{5}{4}$，t=1时，f（x）最大，最大值是-1，
故函数f（x）的值域是[-$\frac{5}{4}$，-1]，
故选：B．

点评 本题考查了指数函数、二次函数的性质，考查换元思想，是一道中档题．