Question

4．已知数列{a_n}是等差数列，S_n是数列{a_n}的前n项和，S₅=30，a₇+a₉=32．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列，等差中项求的a₈=16，a₃=6，即可求得d，a₁，即可写出通项公式；
（Ⅱ）先求得{b_n}的通项公式，采用裂项法即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：数列{a_n}是等差数列，a₇+a₉=32，即2a₈=32，a₈=16，
S₅=30，$\frac{（{a}_{1}+{a}_{5}）×5}{2}$=30，
∴a₁+a₅=12，2a₃=12，a₃=6，
a₈-a₃=5d=10，
d=2，
∴a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n；
（2）b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），
=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
数列{b_n}的前n项和T_n．
T_n=$\frac{\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}）^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{2n+1}$．
T_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{2n+1}$．

点评 本题考查求等差数列通项公式，采用裂项法求数列的前n项和，数列是高中数学的重要内容，在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏，属于中档题．