Question

11．已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a₀•2^k+a${\;}_{1}•{2}^{k-1}$+…+a${\;}_{k-1}•{2}^{1}$+a_k•2⁰，其中a₀=1，a₁，a₂，…，a_k∈{0，1}，k∈N．
对于n∈N^*，数列{b_n}满足：当a₀，a₁，…，a_k中有偶数个1时，b_n=0；否则b_n=1，如数5可以唯一表示为5=1×2²+0×2¹+1×2⁰，则b₅=0．
（1）写出数列{b_n}的前8项；
（2）求证：数列{b_n}中连续为1的项不超过2项；
（3）记数列{b_n}的前n项和为S_n，求满足S_n=1026的所有n的值．（结论不要求证明）

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，实际是将十进制的数转化为二进制的数，即可求出答案，
（2）设数列{b_n} 中某段连续为1的项从b_m开始，则 b_m=1．由题意，令m=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，则a₁，a₂，…，a_k中有奇数个1，分当a₀=1，a₁，a₂，…，a_k，中无0时，和当a₀=1，a₁，a₂，…，a_k，中有0时两种情况证明，
（3）由（2）即可求出n的值．

解答 解：（1）数列{b_n}的前8项为1，1，0，1，0，0，1，1．
（2）设数列{b_n} 中某段连续为1的项从b_m开始，则 b_m=1．由题意，令m=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，
则a₁，a₂，…，a_k中有奇数个1．
当a₀=1，a₁，a₂，…，a_k，中无0时，
∵m=2^k+2^k-1+…+2¹+2⁰，
∴m+1=1×2^k+1+0×2^k+…+0×2¹+0×2⁰，
m+2=1×2^k+1+0×2^k+…+0×2¹+1×2⁰，
∴b_m=1，b_m+1=1，b_m+2=0，此时连续2项为1，
当a₀=1，a₁，a₂，…，a_k，中有0时，
①若a_k=0，即m=a₀•2^k+a${\;}_{1}•{2}^{k-1}$+…+a${\;}_{k-1}•{2}^{1}$+0×2⁰
则m+1=a₀•2^k+a${\;}_{1}•{2}^{k-1}$+…+a${\;}_{k-1}•{2}^{1}$+1×2⁰，、
∵a₁，a₂，…，a_k中有奇数个1，
∴b_m+1=0，此时连续1项为1，
②若a_k=1，即m=a₀•2^k+a${\;}_{1}•{2}^{k-1}$+…+0×2^s+$\underset{\underbrace{1×{2}^{s-1}+…+1×{2}^{1}+1×{2}^{0}}}{连续s个1乘以{2}^{i}}$，
则m+1=a₀•2^k+a${\;}_{1}•{2}^{k-1}$+…+1×2^s+$\underset{\underbrace{0×{2}^{s-1}+…+0×{2}^{1}+0×{2}^{0}}}{连续s个0乘以{2}^{i}}$，
m+2=a₀•2^k+a${\;}_{1}•{2}^{k-1}$+…+1×2^s+$\frac{0×{2}^{s-1}+…+0×{2}^{1}}{连续（s-1）个0乘以{2}^{i}}$+1×2⁰，（其中i∈N）
如果s为奇数，那么，b_m+1=1，b_m+2=0，此时连续2项为1．
如果s为偶数，那么b_m+1=0，此时仅有1项 b_m=1．
综上所述，连续为1的项不超过2项，
（3）n=2051或n=2052．

点评 本题借助二进制考查了数列的问题，以及数列的项和数列的前n项和，考察了分类讨论的思想和转化能力，属于难题．