Question

20．已知函数f（x）=|2^x-1|，当a＜b＜c时，f（a）＞f（c）＞f（b），那么正确的结论是（　　）

• A． 2^a＞2^b
• B． 2^a＞2^c
• C． 2^-a＜2^c
• D． 2^a+2^c＜2

Answer 1

分析 函数f（x）=|2^x-1|，可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2}^{x}-1，x≥0\\ 1-{2}^{x}，x＜0\end{array}\right.$．画出函数图象．利用函数图象的单调性和已知条件可得：当0≤a＜b＜c时，不满足f（a）＞f（b）＞f（c），因此必有a＜0．当a＜0＜c时，1-2^a＞2^c-1，化为2^a+2^c＜2；当a＜b＜c≤0时，f（x）在区间（-∞，0]上也满足2^a+2^c＜2．

解答 解：∵函数f（x）=|2^x-1|，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2}^{x}-1，x≥0\\ 1-{2}^{x}，x＜0\end{array}\right.$．
画出函数图象如下图所示：

可知：函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．
当0≤a＜b＜c时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不满足f（a）＞f（b）＞f（c），因此必有a＜0．
当a＜0＜c时，1-2^a＞2^c-1，化为2^a+2^c＜2；
当a＜b＜c≤0时，f（x）在区间（-∞，0]上单调递减．
∴1＞1-2^a＞1-2^c≥0，
∴2^c≤1，2^a＜1，
∴2^a+2^c＜2．
综上可知：D一定正确．
故选：D．

点评 本题考查了分段函数的图象与性质、分类讨论、数形结合等基础知识与基本技能方法，属于难题．