Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x（-2＜x＜2）}\\{\frac{x}{3-{x}^{2}}（x≥2或x≤-2）}\end{array}\right.$．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （2）要求函数f（x）的单调递减区间即分区间令y'＜0求出x的范围即可；
（3）根据mx²+x-3m≥0解出$m≥\frac{x}{3-{x}^{2}}$，分区间讨论x的范围得到f（x）的最大值，让m大于等于最大值即可求出m的范围．

解答 解：（1）当-1＜x＜2时，f′（x）=3x²-3，
由f′（x）＜0得-1＜x＜1，此时函数的单调递减区间为（-1，1），
当x≥2或x≤-2时，$f'（x）=\frac{{（3-{x^2}）-x（-2x）}}{{{{（3-{x^2}）}^2}}}=\frac{{3+{x^2}}}{{{{（3-{x^2}）}^2}}}＞0$，
此时函数单调递增，不存在单调递减区间，
综上函数f（x）的单调减区间为（-1，1）；
（2）对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0，
即m（x²-3）≥-x，
也就是$m≥\frac{x}{{3-{x^2}}}$对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（1）知当x≥2或x≤-2时，$f'（x）=\frac{{（3-{x^2}）-x（-2x）}}{{{{（3-{x^2}）}^2}}}=\frac{{3+{x^2}}}{{{{（3-{x^2}）}^2}}}＞0$
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增，
又$f（-2）=\frac{-2}{3-4}=2$，$f（2）=\frac{2}{3-4}=-2$
当x≤-2时，$f（x）=\frac{x}{{3-{x^2}}}＞0$，
∴当x∈（-∞，-2]时，0＜f（x）≤2，
同理可得，当x≥2时，有-2≤f（x）＜0，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2．

点评 本题主要考查分段函数的单调性的应用，考查学生利用导数研究函数单调性的能力，熟悉分段函数的解析式，理解函数恒成立时所取的条件．