Question

已知点C为坐标轴上的一点，圆C与圆M：（x-2）²+（y+2）²=r²外切与点（1，-1），圆C与直线L：3x+4y-5=0交于AB两点
（1）求圆C的方程；
（2）设E（异于AB）是圆C上的任意一点，求△ABE的面积S的最大值．

Answer 1

考点：圆的标准方程,圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）由已知得r=

1+1

=

2

，直线CM过点（2，-2），（1，-1），从而直线CM的方程为x+y=0，C（0，0），由此能求出圆C的方程．
（2）联立

x2+y2=2 3x+4y-5=0

，得25y²-40y+7=0，解得A（-

1

5

，

7

5

），B（

7

5

，

1

5

），当点E在圆C上且OE⊥AB时，△ABE的面积S取最大值，由此能求出结果．

解答： 解：（1）∵点C为坐标轴上的一点，圆C与圆M：（x-2）²+（y+2）²=r²外切与点（1，-1），
圆C与直线L：3x+4y-5=0交于AB两点，
∴r=

1+1

=

2

，直线CM过点（2，-2），（1，-1），
∴直线CM的方程为

y+1

x-1

=

-2+1

2-1

，整理，得x+y=0，
∵点C为坐标轴上的一点，∴C（0，0），
∴圆C的半径r=

(0-1)2+(0+1)2

=

2

，
∴圆C的方程为x²+y²=2．
（2）联立

x2+y2=2 3x+4y-5=0

，整理，得25y²-40y+7=0，
解得A（-

1

5

，

7

5

），B（

7

5

，

1

5

），
当点E在圆C上且OE⊥AB时，△ABE的面积S取最大值，
此时|AB|=

( 7 5 + 1 5 )2+( 1 5 - 7 5 )2

=2，
C到直线AB的距离d=

|-5|

9+16

=1，
E到直线AB的距离h=d+r=1+

2

，
∴（S_△ABE）_max=

1

2

×|AB|×h=

1

2

×2×(1+

2

)=1+

2

．

点评：本题考查圆的方程的求法，考查圆的面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．