Question

设角α的终边在第一象限，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，有f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y），则使等式f（

1

2

）=

1

2

成立的α的集合为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：令x=1，y=0，可得f(

1

2

)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)，再利用f（0）=0，f（1）=1，f(

1

2

)=

1

2

，可得

1

2

=sinα，再利用三角函数的诱导公式即可得出．

解答： 解：令x=1，y=0，则f(

1

2

)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)，
∵f（0）=0，f（1）=1，f(

1

2

)=

1

2

，
∴

1

2

=sinα，
∵角α的终边在第一象限，∴α=

π

6

+2kπ(k∈Z)．
∴使等式f（

1

2

）=

1

2

成立的α的集合为{α|α=2kπ+

π

6

，k∈Z}．

点评：本题考查了函数的性质和三角函数的性质，属于基础题．