Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点F（﹣1，0），过直线l：x=﹣2右侧的动点P作PA⊥l于点A，∠APF的平分线交x轴于点B，|PA|= |BF|．

（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线q交曲线C于M，N，试问：x轴正半轴上是否存在点E，直线EM，EN分别交直线l于R，S两点，使∠RFS为直角？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（x，y），由平面几何知识得：

= ，即 = ，

化简，得：x2+2y2=2，

∴动点P的轨迹C的方程为x2+2y2=2（x ）．

（2）解：假设满足条件的点E（n，0）（n＞0）存在，

设直线q的方程为x=my﹣1，

M（x1，y1），N（x2，y2），R（﹣2，y3），S（﹣2，y4），

联立 ，得：（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，

y1+y2= ，y1y2=﹣ ，

=﹣ +1= ，

=﹣ ，

由条件知 = ，y3=﹣ ，

同理 ，

=﹣y3，kSF=﹣y4，

由于∠RFS为直角，∴y3y4=﹣1，即（2+n2）y1y2=﹣[x1x2+n（x1+x2）+n2]，

（2+n）2 = + +n2，

∴（n2﹣2）（m2+1）=0，解得n= ，

∴满足条件的点E存在，其坐标为（ ，0）．

【解析】（1）设P（x，y），由平面几何知识得 = ，由此能求出动点P的轨迹C的方程．（2）假设满足条件的点E（n，0）（n＞0）存在，设直线q的方程为x=my﹣1，联立 ，得：（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，由此利用韦达定理、直线方程、椭圆性质，结合已知条件能求出满足条件的点E存在，其坐标为（ ，0）．