Question

如图，单位正方形区域OABC在二阶矩阵M的作用下变成平行四边形OAB₁C₁区域．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求M²，并判断M²是否存在逆矩阵？若存在，求出它的逆矩阵．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用待定系数法，先假设所求的变换矩阵M=，再利用点C（0，1）、A（1，0）分别变换成点C₁（1，1）、A（1，0），可构建方程组，从而得解．
（II）先利用矩阵的乘方求出M²，再直接利用求逆矩阵的公式可求即得．
解答：解：（Ⅰ）设M=，由=，得a=1，c=0，
由=，得b=1，d=1，
∴M=．
（Ⅱ）M²==，
∵|M²|=1≠0，∴M²存在逆矩阵，
M²的逆矩阵为．
点评：本题以变换为依托，考查矩阵及其逆矩阵，关键是利用待定系数法，利用矩阵的乘法公式．