Question

【题目】已知实数a＞0， 方程 有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数a的取值范围 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：设比较大的根为x1 ， 则x1＞3， 此时由 =log3x＞log33=1，
即a ，即a ．
∵方程 有且仅有两个不等实根，
∴当x≤1时，方程 有且仅有1实根，
即﹣x ，在x≤1时，只有一个根．
∴x ，
设g（x）=x ，（x≤1），
函数的对称轴为x=a，
若a≥1，
∵g（0）= ，
∴此时满足g（1）≤0，（图1）

即g（1）=1﹣2a+ ≤0，
∴7a2﹣32a+16≤0，
解得 ，∴此时1≤a≤4，．
若0＜a＜1，
∵g（0）= ，
∴此时满足g（1）＜0，
即g（1）=1﹣2a+ ＜0，
∴77a2﹣32a+16＜0，
解得 ，∴此时 ，
∴ ，
又a ，
∴ ，
即实数a的取值范围是 ，
所以答案是： ．

【考点精析】关于本题考查的函数的零点与方程根的关系和函数的零点，需要了解二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点才能得出正确答案．