【题目】已知以点C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆过原点O.
(1)设直线3x+y﹣4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,设B(0,2),且P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PQ|﹣|PB|的最大值及此时点P的坐标.
【答案】
(1)解:∵OM=ON,所以,则原点O在MN的中垂线上.
设MN的中点为H,则CH⊥MN,
∴C、H、O三点共线,
∵直线MN的方程是3x+y﹣4=0,
∴直线OC的斜率 =
=
,解得t=3或t=﹣3,
∴圆心为C(3,1)或C(﹣3,﹣1)
∴圆C的方程为(x﹣3)2+(y﹣1)2=10或(x+3)2+(y+1)2=10
由于当圆方程为(x+3)2+(y+1)2=10时,圆心到直线3x+y﹣4=0的距离d>r,
此时不满足直线与圆相交,故舍去,
∴圆C的方程为(x﹣3)2+(y﹣1)2=10
(2)解:在三角形PBQ中,两边之差小于第三边,故|PQ|﹣|PB|≤|BQ|
又B,C,Q三点共线时|BQ|最大
所以,|PQ|﹣|PB|的最大值为 ,
∵B(0,2),C(3,1),∴直线BC的方程为 ,
∴直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为(﹣6,4)
【解析】(1)由OM=ON得原点O在MN的中垂线上,由圆的弦中点性质和直线垂直的条件列出方程,求出t的值和C的坐标,代入圆的标准方程化简,再验证直线与圆的位置关系;(2)根据三边关系判断出取最大值的条件,由圆外一点与圆上一点距离最值问题求出最大值,由点斜式方程求出BC的直线方程,以及此时点P的坐标.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】不等式2x2﹣x﹣3>0解集为( )
A.{x|﹣1<x< }??
B.{x|x> 或x<﹣1}??
C.{x|﹣ <x<1}??
D.{x|x>1或x<﹣ }
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面AED;
(Ⅱ)求二面角F﹣BD﹣C的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若不等式x2﹣ax+b<0的解集为(1,2),则不等式 <
的解集为( )
A.( ,+∞)
B.(﹣∞,0)∪( ,+∞)
C.( ,+∞)
D.(﹣∞,0)∪( ,+∞)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式.
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,被抽取学生的成绩均不低于160分,且低于185分,如图是按成绩分组得到的频率分布直方图.
(1)为了能选拔出优秀的学生,该校决定在笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试,求第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
(2)在(1)的前提下,学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官A面试,求第4组至少有一名学生被考官A面试的概.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设a<1,集合A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2﹣3(1+a)x+6a>0},D=A∩B.
(1)求集合D(用区间表示);
(2)求函数f(x)=x2﹣(1+a)x+a在D内的零点.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com